The Dirichlet Problem for Superdegenerate Differential Operators

Let L be an infinitely degenerate second-order linear operator defined on a bounded smooth Euclidean domain. Under weaker conditions than those of Hörmander, we show that the Dirichlet problem associated with L has a unique smooth classical solution. The proof uses the Malliavin calculus. At present, there appears to be no proof of this result using classical analytic techniques. Le Probléme De Dirichlet Pour Des Operateurs Differentiels Superdégénérés RÉ SUMÉ. Soit L un opérateur linéaire défini sur un domaine borné régulier de l’espace euclidien avec une dégénérescence infinie. Sous des conditions plus faibles que celles de Hörmander, on montre que le problème de Dirichlet associé à L a une solution régulière classique unique. La démonstration utilise le calcul de Malliavin. Il semble qu’il n’y ait à cette date aucune démonstration de ce résultat par des techniques analytiques classiques. Version française abrégée. Soit D un domaine borné régulière de R dont la frontière ∂D est régulière. Soient X0, . . . , Xn des champs de vecteurs et c une fonction à valeurs réelles, tous définis et réguliers dans un voisinage ouvert de D̄. Notons L l’opérateur différentiel de second ordre L = n